成人高考高起点《文数》重点:等差数列、等比数列

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  等差数列、等比数列

  等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.成人高考中也一直重点考查这部分内容。

  难点磁场

  等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________.

  案例探究

  [例1]已知函数f(x)= (x<-2).

  (1)求f(x)的反函数f--1(x);

  (2)设a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;

  (3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn< 成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

  命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力.

  知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.

  错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,(2)问以数列{ }为桥梁求an,不易突破.

  技巧与方法:(2)问由式子 得 =4,构造等差数列{ },从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.

  解:(1)设y= ,∵x<-2,∴x=- ,

  即y=f--1(x)=- (x>0)

  (2)∵ ,

  ∴{ }是公差为4的等差数列,

  ∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .

  (3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,

  设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数,

  ∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn< 成立.

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